Аналітичні методи розв'язку задач теорії коливань для пружних пластин неканонічної форми
Мобараке Пуйан Шакері
Інформація
Коментарі (0)
Аналітичні методи розв'язку задач теорії коливань для пружних пластин неканонічної форми - Мобараке Пуйан Шакері
Автор: Мобараке Пуйан Шакері
Написано: 2019 року
Твір додано: 19-10-2021, 17:58
Завантажити:
Шакері Мобараке Пуйан. Аналітичні методи розв’язку задач теорії
коливань для пружних пластин неканонічної форми. – Кваліфікаційна
наукова праця на правах рукопису.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-
математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – Механіка деформівного
твердого тіла. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Міністерства освіти і науки України, Київ, 2019.
Дисертацію присвячено розробці підходу до побудови аналітичних
розв’язків крайових задач математичної фізики для областей неканонічних
форм. Розглядаються крайові задачі для рівнянь Лапласа, Гельмгольца і рівнянь
електропружності для п’єзокерамічних пластин.
В основі підходу до побудови аналітичних розв’язків лежить
нетрадиційна для класичної математичної фізики ідея загального розв'язку
крайової задачі для даної області. В роботі дається опис змісту цього поняття.
Крайові задачі для рівнянь Лапласа і Гельмгольца використовуються для
ілюстрації можливостей методу і ідентифікації можливих труднощів при його
практичній реалізації.
Потенційно на основі ідеї методу загального розв'язку крайової задачі
може бути розглянуто широке коло задач механіки. Конкретна реалізація, яка
ілюструє його можливості, виконана для областей, межі яких утворені
відрізками прямих ліній. Загальний розв'язок будується у вигляді набору
нескінченних рядів, кожен член яких задовольняє основне рівняння, і які мають
достатню довільність для задоволення крайових умов на одній зі сторін межі.
Розглянуто різні варіанти чисельних процедур для визначення коефіцієнтів цих
рядів.
Можливості методу повністю використані при аналізі планарних
коливань паралелограмних п’єзокерамічних пластин і згинальних коливань
паралелограмних п’єзокерамічних біморфів. Визначено спектральні 3
характеристики пластин при їх коливанні і геометричні особливості власних
форм цих пластин.
Проведено експериментальні дослідження, що дозволили підтвердити
достатню надійність аналітичних методів визначення динамічних
характеристик двох типів пластин в досить широкому діапазоні частот.
Ключові слова: рівняння Лапласа, рівняння Гельмгольца, коливання
мембран неканонічної форми, планарні коливання п’єзокерамічних пластин
неканонічної форми, згинні коливання п’єзокерамічних біморфних пластин
неканонічної форми, амплітудно-частотна характеристика, метод частинних
областей, метод суперпозиції, метод мінімізації середньо-кваратичного
відхилення, метод колокації, метод редукції.
коливань для пружних пластин неканонічної форми. – Кваліфікаційна
наукова праця на правах рукопису.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-
математичних наук за спеціальністю 01.02.04 – Механіка деформівного
твердого тіла. – Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Міністерства освіти і науки України, Київ, 2019.
Дисертацію присвячено розробці підходу до побудови аналітичних
розв’язків крайових задач математичної фізики для областей неканонічних
форм. Розглядаються крайові задачі для рівнянь Лапласа, Гельмгольца і рівнянь
електропружності для п’єзокерамічних пластин.
В основі підходу до побудови аналітичних розв’язків лежить
нетрадиційна для класичної математичної фізики ідея загального розв'язку
крайової задачі для даної області. В роботі дається опис змісту цього поняття.
Крайові задачі для рівнянь Лапласа і Гельмгольца використовуються для
ілюстрації можливостей методу і ідентифікації можливих труднощів при його
практичній реалізації.
Потенційно на основі ідеї методу загального розв'язку крайової задачі
може бути розглянуто широке коло задач механіки. Конкретна реалізація, яка
ілюструє його можливості, виконана для областей, межі яких утворені
відрізками прямих ліній. Загальний розв'язок будується у вигляді набору
нескінченних рядів, кожен член яких задовольняє основне рівняння, і які мають
достатню довільність для задоволення крайових умов на одній зі сторін межі.
Розглянуто різні варіанти чисельних процедур для визначення коефіцієнтів цих
рядів.
Можливості методу повністю використані при аналізі планарних
коливань паралелограмних п’єзокерамічних пластин і згинальних коливань
паралелограмних п’єзокерамічних біморфів. Визначено спектральні 3
характеристики пластин при їх коливанні і геометричні особливості власних
форм цих пластин.
Проведено експериментальні дослідження, що дозволили підтвердити
достатню надійність аналітичних методів визначення динамічних
характеристик двох типів пластин в досить широкому діапазоні частот.
Ключові слова: рівняння Лапласа, рівняння Гельмгольца, коливання
мембран неканонічної форми, планарні коливання п’єзокерамічних пластин
неканонічної форми, згинні коливання п’єзокерамічних біморфних пластин
неканонічної форми, амплітудно-частотна характеристика, метод частинних
областей, метод суперпозиції, метод мінімізації середньо-кваратичного
відхилення, метод колокації, метод редукції.
ВСТУП 10
Розділ 1 ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРИ 23
Розділ 2 МЕТОД ПОБУДОВИ АНАЛІТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ
КРАЙОВИХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ ДЛЯ
НЕКАНОНІЧНИХ ОБЛАСТЕЙ 35
2.1 Основні особливості методу часткових областей ............................. 36
2.2 Розв’язок задачі в області, що обмежена трикутником ................ 39
2.3 Області, які обмежені координатними поверхнями різних сімейств 42
2.4 Доповнення граничних умов в задачі теорії потенціалу ................... 48
2.5 Задача про випромінювання звуку циліндрами, що перетинаються 51
2.6 Частково екранований циліндричний акустичний випромінювач 54
2.7 Висновки до розділу ...……………………………………………… 55
Розділ 3 СУЧАСНІ ЧИСЕЛЬНО-АНАЛІТИЧНІ МЕТОДИ
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКАНОНІЧНИХ
ОБЛАСТЕЙ НА ПРИКЛАДІ РІВНЯННЯ ЛАПЛАСА 57
3.1 Задача Діріхле для паралелограмної області ...................................... 58
3.1.1 Розв'язування методом часткових областей ......……………. 59
3.2 Розв’язування методом граничних інтегральних рівнянь ................. 67
3.2.1 Приклад розрахунків методом граничних інтегральних
рівнянь ...............................….………………………………………… 74
3.3 Метод коллокації ................................................................................... 76
3.4 Висновки до розділу ……………………………………………….. 84
Розділ 4 КОЛИВАННЯ МЕМБРАНИ ПАРАЛЕЛОГРАМНОЇ ФОРМИ 85
4.1 Постановки задач про коливання паралелограмної мембрани ..… 85
4.2 Розв’язання методом часткових областей .............……………….. 87
4.3 Метод мінімізації середньоквадратичних відхилень …........…….. 92
4.4 Метод колокації ..………………......................................………….. 97
4.5 Коливання мембрани при динамічному збудженні. Метод
мінімізації середньоквадратичного відхилення ..………..........….. 102
4.6 Коливання мембрани при динамічному збудженні.
Метод колокації .................................................................................. 103
4.7 Висновки до розділу …….………………………………………….. 107
Розділ 5 ВПЛИВ ЗБУРЕНЬ ФОРМИ ГРАНИЦІ НА ЧАСТОТНІ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛАНАРНИХ КОЛИВАНЬ
П’ЕЗОКЕРАМІЧНИХ ПЛАСТИН 108
5.1 Основні співвідношення теорії планарних коливань тонких
електродованих п’єзопластин з товщинною поляризацією при
збудженні електричним полем ......................................................… 109
5.2 Представлення розв'язку в потенціалах ..................……………….. 111
5.3 Постановка задачі та побудова аналітичного розв’язку …............. 114
5.4 Комп'ютерне моделювання коливань пластин …..……………….. 122
5.5 Експериментальні дослідження впливу збурень форми
границі на частотні характеристики планарних коливань
п'єзокерамічних пластин …….…………………………………….. 138
5.5.1 Оцінка ефективності енергоперетворення пластини на
резонансних коливаннях ......................................……………. 141
5.5.2 Методика проведення експериментальних досліджень......... 143
5.5.3 Амплітудно-частотні характеристики і коефіцієнт
электромеханічного зв'язку квадратної пластини розміром
45x45х2,8 мм та похідних від неї паралелограмів з різними
кутами зрізу протилежних граней. ......................................... 145
5.6 Дослідження змін у резонансних властивостях при зміні форми
п’єзокерамічного стержня з прямокутної на трапецієвидну ......... 152
5.7 Висновки до розділу …….………………………………………….. 155
Розділ 6 ЗГИННІ КОЛИВАННЯ БІМОРФНИХ П'ЄЗОКЕРАМІЧНИХ
ПЛАСТИН НЕКАНОНІЧНОЇ ФОРМИ 157
6.1 Основні співвідношення теорії коливань біморфних
п'єзокерамічних пластин ...............................................................… 159
6.2 Постановка задачі та побудова аналітичного розв’язку .............… 162
6.3 Комп’ютерне моделювання коливань пластини з використанням
двох підходів ...................................................................................… 169
6.4 Висновки до розділу …….………………………………………….. 189
ВИСНОВКИ 191
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 193
Розділ 1 ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРИ 23
Розділ 2 МЕТОД ПОБУДОВИ АНАЛІТИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ
КРАЙОВИХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ ДЛЯ
НЕКАНОНІЧНИХ ОБЛАСТЕЙ 35
2.1 Основні особливості методу часткових областей ............................. 36
2.2 Розв’язок задачі в області, що обмежена трикутником ................ 39
2.3 Області, які обмежені координатними поверхнями різних сімейств 42
2.4 Доповнення граничних умов в задачі теорії потенціалу ................... 48
2.5 Задача про випромінювання звуку циліндрами, що перетинаються 51
2.6 Частково екранований циліндричний акустичний випромінювач 54
2.7 Висновки до розділу ...……………………………………………… 55
Розділ 3 СУЧАСНІ ЧИСЕЛЬНО-АНАЛІТИЧНІ МЕТОДИ
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕКАНОНІЧНИХ
ОБЛАСТЕЙ НА ПРИКЛАДІ РІВНЯННЯ ЛАПЛАСА 57
3.1 Задача Діріхле для паралелограмної області ...................................... 58
3.1.1 Розв'язування методом часткових областей ......……………. 59
3.2 Розв’язування методом граничних інтегральних рівнянь ................. 67
3.2.1 Приклад розрахунків методом граничних інтегральних
рівнянь ...............................….………………………………………… 74
3.3 Метод коллокації ................................................................................... 76
3.4 Висновки до розділу ……………………………………………….. 84
Розділ 4 КОЛИВАННЯ МЕМБРАНИ ПАРАЛЕЛОГРАМНОЇ ФОРМИ 85
4.1 Постановки задач про коливання паралелограмної мембрани ..… 85
4.2 Розв’язання методом часткових областей .............……………….. 87
4.3 Метод мінімізації середньоквадратичних відхилень …........…….. 92
4.4 Метод колокації ..………………......................................………….. 97
4.5 Коливання мембрани при динамічному збудженні. Метод
мінімізації середньоквадратичного відхилення ..………..........….. 102
4.6 Коливання мембрани при динамічному збудженні.
Метод колокації .................................................................................. 103
4.7 Висновки до розділу …….………………………………………….. 107
Розділ 5 ВПЛИВ ЗБУРЕНЬ ФОРМИ ГРАНИЦІ НА ЧАСТОТНІ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛАНАРНИХ КОЛИВАНЬ
П’ЕЗОКЕРАМІЧНИХ ПЛАСТИН 108
5.1 Основні співвідношення теорії планарних коливань тонких
електродованих п’єзопластин з товщинною поляризацією при
збудженні електричним полем ......................................................… 109
5.2 Представлення розв'язку в потенціалах ..................……………….. 111
5.3 Постановка задачі та побудова аналітичного розв’язку …............. 114
5.4 Комп'ютерне моделювання коливань пластин …..……………….. 122
5.5 Експериментальні дослідження впливу збурень форми
границі на частотні характеристики планарних коливань
п'єзокерамічних пластин …….…………………………………….. 138
5.5.1 Оцінка ефективності енергоперетворення пластини на
резонансних коливаннях ......................................……………. 141
5.5.2 Методика проведення експериментальних досліджень......... 143
5.5.3 Амплітудно-частотні характеристики і коефіцієнт
электромеханічного зв'язку квадратної пластини розміром
45x45х2,8 мм та похідних від неї паралелограмів з різними
кутами зрізу протилежних граней. ......................................... 145
5.6 Дослідження змін у резонансних властивостях при зміні форми
п’єзокерамічного стержня з прямокутної на трапецієвидну ......... 152
5.7 Висновки до розділу …….………………………………………….. 155
Розділ 6 ЗГИННІ КОЛИВАННЯ БІМОРФНИХ П'ЄЗОКЕРАМІЧНИХ
ПЛАСТИН НЕКАНОНІЧНОЇ ФОРМИ 157
6.1 Основні співвідношення теорії коливань біморфних
п'єзокерамічних пластин ...............................................................… 159
6.2 Постановка задачі та побудова аналітичного розв’язку .............… 162
6.3 Комп’ютерне моделювання коливань пластини з використанням
двох підходів ...................................................................................… 169
6.4 Висновки до розділу …….………………………………………….. 189
ВИСНОВКИ 191
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ 193
Що ще подивитися
Диференціальні рівняння та рівняння математичної фізики
Галина Петрівна Лопушанська
Математичні олімпіади: просте і складне поруч
Олександр Сарана
Геометрія — це нескладно. Планіметрія
Олександр Гайштут,Григорій Литвиненко
Вчимося розв'язувати задачі з геометрії
Віталій Полонський,Юхим Рабинович,Михайло Якір
Геометрія чотирикутника
Альберт Раухман,Дмитро Белешко,Петро Тадеєв