Основи теорії відностності

ПЕРЕДМОВА ......................................................................................................... 3

1 МЕХАНІКА НЬЮТОНА – ГАЛІЛЕЯ.............................................................. 5
Навчальна мета..................................................................................................... 5
Глосарій ................................................................................................................ 5
1.1 Релятивістська і квантова механіка. Механіки Ньютона – Галілея та
галузь її застосування. Стан частинки в механіці Ньютона – Галілея ...... 6
1.2 Інерціальні системи відліку. Маса та імпульс частинки
в механіці Ньютона – Галілея. Фундаментальні закони механіки
Ньютона –Галілея......................................................................................... 9
1.2.1 Основна задача механіки Ньютона-Галілея та інерціальні
системи відліку. Перший закон Ньютона ......................................... 9
1.2.2 Про рівноправність станів спокою і рівномірного
прямолінійного руху........................................................................ 10
1.2.3 Маса та імпульс частинки в механіці Ньютона – Галілея ............... 11
1.2.4 Фундаментальні закони механіки Ньютона – Галілея..................... 12
1.3 Механічний принцип відносності ............................................................... 14
1.4 Перетворення Галілея. Поняття про інваріанти перетворень Галілея.
Перетворення Галілея і механічний принцип відносності. ..................... 16
1.4.1 Перетворення Галілея........................................................................ 16
1.4.2 Додавання швидкостей в механіці Ньютона – Галілея ................... 18
1.4.3 Інваріанти перетворень Галілея ........................................................ 18
1.4.3.1 Проміжок часу (тривалість події)........................................ 19
1.4.3.2 Відстань між точками у просторі ........................................ 19
1.4.3.3 Вектор відносної швидкості ................................................ 20
1.4.3.4 Вектор прискорення ............................................................. 20
1.4.3.5 Маса частинки ...................................................................... 20
1.4.3.6 Сила взаємодії між частинками........................................... 20
1.4.3.7 Закони руху механіки Ньютона-Галілея ............................. 20
Контрольне завдання до першого розділу ........................................................ 21

2 ОСНОВИ СПЕЦІАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ.
РЕЛЯТИВІСТСЬКА КІНЕМАТИКА ........................................................... 24
Навчальна мета................................................................................................... 24
Глосарій .............................................................................................................. 24
2.1 Принцип відносності в електродинаміці та його експериментальне
обґрунтування. Постулати спеціальної теорії відносності ...................... 25
2.2 Аналіз поняття одночасності подій в кінематиці Ньютона – Галілея
та в релятивістській кінематиці................................................................. 32
2.3 Перетворення Лоренца для координат і моментів часу ............................. 34
2.4 Основи релятивістської кінематики.
Кінематичні наслідки перетворень Лоренца............................................. 37
2.4.1 Скорочення довжин........................................................................... 37


151

2.4.2 Сповільнення ходу годинників ......................................................... 39
2.4.3 Релятивістський закон додавання швидкостей................................ 40
2.5 Кінематичні інваріанти перетворень Лоренца.
Поняття про чотиривимірний простір подій............................................. 43
2.5.1 Швидкість світла у вакуумі c............................................................ 43
2.5.2 Інтервал між двома подіями.............................................................. 43
2.5.3 Власний час........................................................................................ 46
2.5.4 Чотиривимірні вектори ..................................................................... 46
2.5.5 Вектор чотиривимірної швидкості та чотиривимірного
прискорення як приклади чотиривимірних векторів ..................... 50
2.5.6 Скалярний добуток чотиривимірних векторів; ефект Допплера .... 51
2.5.7 Чотиривимірний об’єм ...................................................................... 53
2.6 Поняття про світловий конус. Світові лінії і діаграми Мінковського....... 54
2.6.1 Поняття про світловий конус............................................................ 54
2.6.2 Деякі додаткові відомості про геометрію чотиривимірного
простору подій ................................................................................. 55
2.6.3 Світові лінії і діаграми Мінковського .............................................. 56
Контрольне завдання до другого розділу ......................................................... 59

3 ОСНОВИ РЕЛЯТИВІСТСЬКОЇ ДИНАМІКИ ............................................. 62
Навчальна мета................................................................................................... 62
Глосарій .............................................................................................................. 62
3.1 Маса та імпульс в релятивістській механіці. Релятивістське рівняння
руху ............................................................................................................. 64
3.1.1 Маса релятивістської частинки та її імпульс ................................... 64
3.1.2 Релятивістський закон руху .............................................................. 66
3.1.3 Додаткові зауваження щодо властивостей маси в
релятивістській механіці.................................................................. 67
3.1.4 Деякі додаткові зауваження щодо вектора сили в
релятивістській механіці та релятивістського закону руху ........... 68
3.1.4.1 Додаткові відомості про вектор сили і релятивістський
закон руху в релятивістській механіці............................... 68
3.1.4.2 Релятивістська форма закону руху в механіці.................... 68
3.1.4.3 Структура вектора сили в релятивістській механіці.
Залежність сили від швидкості........................................... 70
3.2 Виведення виразу для релятивістського імпульсу ..................................... 71
3.3 Енергія в релятивістській механіці. Кінетична енергія
релятивістської частинки. Власна енергія матеріального об’єкту як
прояв його релятивістських властивостей. .............................................. 74
3.3.1 Вектор енергії – імпульсу релятивістської частинки, її власна,
повна та кінетична енергія............................................................... 74
3.3.2 Деякі співвідношення для енергії релятивістської частинки та
зауваження щодо маси системи частинок ...................................... 77
3.3.3 Безпосередній розрахунок повної енергії релятивістської
частинки............................................................................................ 79


152

3.3.4 Приклад перетворення енергії спокою частинки в інші види
енергії: розпад вільного нейтрона................................................... 79
3.4 Релятивістська частинка у зовнішньому потенціальному полі.
Зв’язаний стан у релятивістській механіці. Енергія зв’язку
релятивістської системи............................................................................. 80
3.4.1 Релятивістська частинка у зовнішньому потенціальному полі....... 80
3.4.2 Умова створення зв’язаного стану ................................................... 80
3.4.3 Енергія зв’язку релятивістської системи.......................................... 81
3.5 Перетворення Лоренца для енергії та імпульсу релятивістської
частинки...................................................................................................... 86
3.5.1 Використання аналогії між проекціями чотиривимірного
радіус-вектора і проекціями чотиривимірного імпульсу............... 86
3.5.2 Використання релятивістського закону додавання швидкостей .... 86
3.5.3 Граничний перехід до ньютонівської механіки ............................... 87
3.5.4 Про систему центра інерції сукупності релятивістських
частинок............................................................................................ 88
3.6 Про момент імпульсу частинки в релятивістській механіці...................... 91
3.7 Релятивістські закони збереження. Зіткнення і розпад
релятивістських частинок. ........................................................................ 94
3.7.1 Пружне зіткнення релятивістських частинок. Ефект Комптона..... 94
3.7.2 Випромінювання Вавілова-Черенкова ............................................. 97
3.7.3 Самовільний розпад частинки .......................................................... 99
3.7.4 Непружні зіткнення релятивістських частинок. Ядерні реакції.
Поріг та енергія реакції.................................................................. 101
3.7.4.1 Народження пари електрон-позитрон ( ee) фотоном
у полі атомного ядра ......................................................... 103
3.7.4.2 Поріг народження пари нуклон-антинуклон
(антипротонний поріг) ...................................................... 104
3.7.4.3 Ідея прискорювачів на зустрічних пучках ........................ 104
3.7.4.4 Реакція поділу ядер урану.................................................. 105
3.8 Перетворення Лоренца для сили в релятивістській механіці ................. 109
3.8.1 Перетворення поздовжньої складової сили ................................... 109
3.8.2 Перетворення поперечної складової сили...................................... 110
3.8.3 Перетворення повної сили .............................................................. 111
Контрольне завдання до третього розділу...................................................... 113

4 ЕЛЕМЕНТИ ЗАГАЛЬНОЇ ТЕОРІЇ ВІДНОСНОСТІ................................. 116
Навчальна мета................................................................................................. 116
Глосарій ............................................................................................................ 116
4.1 Передумови створення загальної теорії відносності................................ 118
4.1.1 Принцип еквівалентності ................................................................ 118
4.1.2 Проблеми нерелятивістської теорії тяжіння .................................. 120
4.1.3 Про витоки загальної теорії відносності в ньютонівській
механіці........................................................................................... 121


153

4.2 Дещо про фізику та геометрію; основні положення загальної теорії
відносності................................................................................................ 122
4.2.1 Про зв’язок фізики і геометрії ........................................................ 122
4.2.2 Елементи геометрії неевклідового простору ................................. 123
4.2.2.1 Метрика простору .............................................................. 123
4.2.2.2 Геодезичні лінії................................................................... 125
4.2.2.3 Паралельний перенос вектора у криволінійному
просторі ............................................................................. 125
4.2.2.4 Кривизна поверхні.............................................................. 125
4.2.3 Основні положення загальної теорії відносності........................... 127
4.2.3.1 Загальні відомості............................................................... 127
4.2.3.2 Проміжки часу в загальній теорії відносності .................. 129
4.2.3.3 Відстані в загальній теорії відносності ............................. 130
4.3 Прості моделі.............................................................................................. 132
4.3.1 Статичне гравітаційне поле точкової маси .................................... 132
4.3.2 Проміжки часу та відстані в статичному гравітаційному полі
точкової маси.................................................................................. 134
4.3.2.1 Проміжки часу.................................................................... 134
4.3.2.2 Відстані ............................................................................... 135
4.3.3 Гравітаційний радіус. Чорні дірки.................................................. 135
4.3.3.1 Поняття про гравітаційний радіус ..................................... 135
4.3.3.2 Поняття про чорні дірки та горизонт подій ...................... 137
4.3.4 Простір – час у системі відліку, що рівномірно обертається ........ 140
4.3.5 Про граничний перехід до евклідової геометрії у випадку
статичного гравітаційного поля точкової маси ........................... 141
4.4 Експериментальні засади загальної теорії відносності............................ 142
4.4.1 Зсув перигелію Меркурію ............................................................... 142
4.4.2 Відхилення світлового променю в полі Сонця .............................. 144
4.4.3 Гравітаційне зміщення спектральних ліній.................................... 145
Контрольне завдання до четвертого розділу .................................................. 147