Класична механіка

Передмова редактора перекладу 10
Передмова автора до українського видання 12
Передмова автора до німецького видання 13

Розділ 1. Мета та основні поняття 14

Розділ 2. Основи класичної механіки 24
2.1. Закони Ньютона 24
2.1.1. Маса, кількість руху і сила 24
2.1.2. Основні закони класичної механіки 27
2.1.3. Механіка матеріальної точки 29
2.2. Перші інтеґрали рівнянь руху Ньютона 31
2.2.1. Збережні величини і константи руху 31
2.2.2. Закон збереження енергії 33
2.2.3. Закон збереження моменту імпульсу 37

Розділ 3. Одновимірний рух частинки 40
3.1. Загальні властивості 42
3.2. Жолоб Ґалілея 46
3.3. Плоский маятник 47
3.4. Гармонічний осцилятор 50
3.5. Вимушені коливання осцилятора із загасанням 52
3.5.1. Збуджені коливання осцилятора з лінійним загасанням 53
3.5.2. Періодичне збудження коливань осцилятора із загасанням 55
3.6. Стійкість руху 58
3.7. Ангармонічний одновимірний рух 67

Розділ 4. Несподівана поведінка у двох вимірах 73
4.1. Двовимірний гармонічний осцилятор 73
4.2. Система Ено-Ейлеса 80
4.3. Як виглядає „некорисна“ збережна величина? ... 85
4.4. Хаотична поведінка 89

Розділ 5. Рух у полі центральних сил 97
5.1. Загальні властивості руху в центральному потенціалі 97
5.1.1. Збережні величини 97
5.1.2. Ефективний потенціал 100
5.1.3. Властивості траєкторій 102
5.2. Рух у потенціалі 1/г 104
5.2.1. Рух для L ф 0 105
5.2.2. Обмежений рух для L = 0 111
5.3. Рух у потенціалі V(r) ос 1/га 112
5.3.1. Механічна подібність 113
5.3.2. Вектор Ленца 115
5.4. Інтеґровність зникає 117

Розділ 6. Взаємодія двох мас 129
6.1. Система двох тіл 129
6.2. Гравітаційна взаємодія 136
6.3. Закони Кеплера 138
6.4. Гравітаційний потенціал деякого розподілу мас . . 143
6.4.1. Потенціал однорідної кулі 145
6.4.2. Потенціал неоднорідного тіла 147
6.5. Про правильність Ньютонового закону тяжіння . . 150

Розділ 7. Розсіяння частинок 153
7.1. Необмежений рух у центральному потенціальному полі 153
7.2. Кінематика пружного зіткнення двох частинок . . . 157
7.2.1. Величини, які визначають пружне зіткнення 157
7.2.2. Кінематика пружного зіткнення 160
7.3. Потенціальне розсіяння 164
7.3.1. Поперечний переріз розсіяння 165
7.3.2. Розсіяння у полі з потенціалом 1/г 168

Розділ 8. Заміна систем відліку 174
8.1. Перетворення між інерційними системами відліку . 175
8.1.1. Лінійні перетворення; трансляції 177
8.1.2. Повороти систем координат 178
8.1.3. Група Ґалілея 183
8.2. Перетворення до неінерційних систем відліку .... 187
8.2.1. Система відліку, яка рухається прямолінійно з прискоренням 187
8.2.2. Обертові системи відліку 188
8.2.3. Рух в обертовій системі 193

Розділ 9. Лаґранжева механіка 199
9.1. В’язі та сили реакції 199
9.2. Варіаційне числення ' 207
9.2.1. Рівняння Ойлера 208
9.2.2. Перетворення змінних 213
9.2.3. Додаткові умови 216
9.3. Функція Лаґранжа 218
9.3.1. Обернена задача варіаційного числення . . . 218
9.3.2. Функціонал для положення x(t) 220
9.3.3. Функція Лаґранжа для матеріальної точки . 222
9.3.4. Функція Лаґранжа в узагальнених координатах . 225
9.3.5. Інші застосування функції Лаґранжа .... 229
9.3.6. Нерівномірний рух систем відліку 231

Розділ 10. Системи багатьох частинок. Закони збереження і симетрії 235
10.1. Рівняння руху для системи N матеріальних точок . 235
10.2. Закони збереження 239
10.2.1. Закон збереження імпульсу і центра інерції. 239
10.2.2. Закон збереження моменту імпульсу 241
10.2.3. Закон збереження енергії 244
10.3. Функція Лаґранжа системи N частинок 248
10.4. Інфінітезимальні перетворення і закони збереження 251

Розділ 11. Тверде тіло 260
11.1. Ступені вільності твердого тіла 261
11.2. Основи статики твердого тіла 261
11.3. Динаміка твердого тіла 269
11.3.1. Рух у власній системі відліку 269
11.3.2. Тензор інерції 273
11.3.3. Рівняння Ойлера руху дзиґи 279
11.3.4. Рух важкої дзиґи 285
11.3.5. Важка симетрична дзиґа 292

Розділ 12. Малі коливання 301
12.1. Плоский подвійний маятник 301
12.2. Метод малих коливань 305
12.2.1. Загальна теорія 305
12.2.2. Застосування до подвійного маятника .... 310
12.2.3. Триатомна молекула 313
12.3. Лінійний ланцюжок (перехід до класичної теорії поля) 320

Розділ 13. Канонічне формулювання механіки 328
13.1. Гамільтонова теорія 328
13.1.1. Функція Гамільтона і канонічні рівняння . . 328
13.1.2. Рух у центральному потенціалі й однорідному магнетному полі 333
13.1.3. Дужки Пуассона 337
13.2. Канонічні перетворення 341
13.2.1. Твірна функція канонічного перетворення . 342
13.2.2. Інфінітезимальні канонічні перетворення . . 347
13.2.3. Симетрії і закони збереження 350
13.2.4. Потік у фазовому просторі 351

Розділ 14. Теорія Гамільтона-Якобі 357
14.1. Інтеґровність 357
14.2. Метод Гамільтона-Якобі (для систем, незалежних від часу) 362
14.2.1. Рівняння Гамільтона-Якобі 362
14.2.2. Система, яку можна розділити 364
14.3. Задача трьох тіл 369
14.3.1. Обмежена задача трьох тіл 370
14.3.2. Задача двох центрів 376
14.3.3. Розв’язки обмеженої задачі трьох тіл 381
14.3.4. Чому траєкторії планет не хаотичні? 389

Розділ 15. Від інтеґровних систем до неінтеґровних 394
15.1. Змінні дія-кут 394
15.1.1. Означення і загальні властивості 394
15.1.2. Перетворення до змінних дія-кут 398
15.2. Рух на (гіпер)торі 406
15.3. Канонічна теорія збурень 409
15.4. Теорема КАМ (огляд) 418

Підсумок 425
Додаток А. Системи координат 427
Додаток Б. Функція Ґріна 435
Б.1. ί-Функція Дірака 435
Б.2. Перетворення Фур’є 437
Б.З. Лінійні диференційні рівняння і функція Ґріна 439
Додаток В. Обертання і тензори 443
Список літератури 446
Предметний покажчик 456